Divisioni in colonna

Nella precedente guida abbiamo introdotto la divisione e abbiamo visto quali sono le sue possibili interpretazioni logiche, distinguendo tra divisione come ripartizione e divisione come contenenza. Qui ci occuperemo invece della divisione come operazione e in particolare del calcolo delle divisioni in colonna.

Nota: questa guida riguarda argomenti di Seconda Elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria.

Divisione come operazione

Partiamo dalla definizione di divisione come operazione. Consideriamo due numeri di cui il secondo sia diverso da zero. Riguardo ai termini della divisione, chiamiamo:

– il primo numero dividendo;

– il secondo numero divisore.

Dividere il dividendo per il divisore significa trovare altri due numeri, che chiameremo rispettivamente quoziente e resto. Per indicare in riga l’operazione di divisione, si scrive

Dividendo : Divisore = Quoziente r Resto

dove il simbolo : si legge diviso e r si legge resto. Ad esempio

13:4=3 r 1

si legge “13 diviso 4 uguale a 3 e resto 1”.

I bambini dovranno tenere a mente due cose davvero importanti:

1) la prima è che il resto della divisione è un numero più piccolo del divisore.

2) La seconda è che il dividendo sarà uguale alla somma tra il resto e il prodotto tra il quoziente e il divisore.

Dividendo = Quoziente x Divisore + Resto

Intuitivamente dividere significa trovare due numeri, quoziente e resto, grazie ai quali possiamo esprimere il dividendo in un modo diverso.

Facciamo un esempio rappresentando per bene la situazione. Vogliamo calcolare

13:5

Il dividendo è 13, il divisore è 5; per trovare il quoziente e il resto disegniamo 13 oggetti e li raggruppiamo a gruppi di 5.

In una divisione la somma tra il resto e il prodotto tra quoziente e divisore
deve essere uguale al dividendo.

Il numero di gruppi rappresenta il quoziente, in questo caso 2.

Il numero di elementi rimasti fuori è il resto, in questo caso 3.

Moltiplichiamo il quoziente per il divisore: 2×5=10.

Sommiamo il resto al risultato: 10+3=13, che è proprio il divisore.

In base al resto possiamo classificare due tipi di divisioni: divisioni esatte e divisioni con resto.

Divisione esatta

Diremo che la divisione è esatta se il suo resto è zero (molti maestri preferiscono dire che la divisione è senza resto). In questo caso possiamo scrivere

Dividendo : Divisore = Quoziente

sottintendendo la lettera r, visto che il resto non c’è. Inoltre il dividendo coincide con il prodotto tra il quoziente (in questi casi detto anche quoto) e il divisore:

Dividendo = Divisore x Quoziente
(Quoziente → Quoto)

il che mette in risalto lo stretto rapporto tra la moltiplicazione e la divisione esatta. La divisione esatta è infatti l’operazione inversa della moltiplicazione.

Esempi di divisione esatta:

12:4=3 perché 4×3=12

15:3=5 perché 3×5=15

8:2=4 perché 2×4=8

Divisione con resto

Diremo che la divisione è con resto se il resto è diverso da zero.

Esempi di divisione con resto:

13:4 = 3 r 1 perché 13 = 4×3 + 1

19:3 = 6 r 1 perché 19 = 6×3 + 1

11:9 = 1 r 2 perché 11 = 9×1 + 2

Come si esegue una divisione in colonna

Ora comincia la fase un po’ delicata. Dobbiamo spiegare agli alunni come calcolare le divisioni in colonna, operazione che risulterà ben più difficile rispetto a quelle finora incontrate.

Perché le operazioni in colonna sono difficili? Per calcolare una divisione in colonna è necessario ricordare le tabelline e non solo, bisogna anche saper sottrarre velocemente e in modo corretto.

Per far sì che gli alunni imparino a dividere in colonna (o meglio, che inizino a imparare… 😉 ) useremo un esempio guida. Sebbene non abbiamo introdotto ancora la classe delle migliaia, lavoreremo con un numero piuttosto grande come dividendo. Questa è una scelta dettata da motivazioni didattiche ben precise: serve a spiegare l’algoritmo della divisione nella sua interezza.

Vogliamo svolgere la divisione

7489:32

Innanzitutto tracciamo la tabella della divisione e disponiamo i numeri così come riportato in figura.

Passo 1: incolonniamo i numeri come suggerisce l’immagine precedente.

Nel nostro caso il dividendo e il divisore sono rispettivamente 7489 e 32.

Passo 2: partendo dalla prima cifra di sinistra del dividendo, abbassiamo il numero minimo di cifre sufficienti a creare un nuovo numero maggiore o uguale del divisore.

Nel nostro caso abbasseremo le cifre 7 e 4, formando così il numero 74. Confrontiamolo con il divisore: poiché 74 è maggiore di 32, possiamo continuare.

Passo 3: il prossimo obiettivo è quello di trovare il più grande numero che, moltiplicato per il divisore, dia come risultato un numero minore o uguale al numero che abbiamo abbassato.

Nel nostro caso 32×2=64 che è minore di 74, mentre 32×3=96 non va bene perché è maggiore di 74. Scriveremo il 2 nel quoziente.

Passo 4: moltiplichiamo il quoziente parziale col divisore e scriviamo il risultato sotto le cifre abbassate: 32×2=64. Fatto questo dobbiamo eseguire una sottrazione: 74-64=10, che sarà il resto parziale.

Passo 5: abbassiamo un’altra cifra del dividendo, 8, e affianchiamola al resto parziale, ottenendo 108.

Ora facciamo un altro giro di giostra. Facciamo finta che 108 sia il nuovo dividendo e come prima troviamo il più grande numero che, moltiplicato per il divisore, ci dà un numero più piccolo o uguale a 108. Il numero cercato è 3, infatti 32×3=96 che è più piccolo di 108.

Passo 6: scriveremo il numero trovato vicino al precedente quoziente parziale, ottenendo così 23, e scriveremo il prodotto 96 sotto 108. Successivamente calcoleremo il nuovo resto parziale.

Passo 7: abbassiamo l’ultima cifra del dividendo e ripetiamo i passi 5 e 6.

Portiamo a termine il nostro esempio guida. Abbiamo abbassato il 9 affiancandolo al 12 così da ottenere il numero 129, che è il nostro nuovo dividendo.

Troviamo il più grande numero che moltiplicato per 32 dia un numero più piccolo di 129. Il numero in questione è 4 perché 32×4=128.

Scriviamo quindi:

– il 4 a fianco del 23 nel quoziente parziale. Ricaviamo come quoziente 234;

– il prodotto tra 4 e 32 sotto a 129 e calcoliamo la sottrazione. 129-128=1, che è il resto.

Possiamo quindi dire che

7489 : 32 = 234 r 1

Con un po’ di pratica e una buonissima conoscenza delle tabelline, gli alunni diventeranno sempre più veloci e bravi.

La prova per la divisione

Per eseguire la prova per la divisione dobbiamo distinguere due casi.

1) Se la divisione è esatta, ossia il resto è zero, allora è sufficiente moltiplicare tra loro il quoziente e il divisore. Se il prodotto è uguale al dividendo allora la divisione è stata calcolata correttamente.

Esempio:

315:15=21

la divisione è corretta, infatti

15×21=315

Prova della divisione senza resto.

2) Per effettuare la prova nel caso della divisione con resto dobbiamo eseguire due operazioni:

– moltiplicare il quoziente con il divisore;

– aggiungere il resto al prodotto precedentemente ottenuto.

Se la somma coincide con il dividendo siamo certi che la divisione con resto è stata calcolata correttamente.

Esempio:

612 : 21 = 29 r 3

Per verificare la correttezza del risultato moltiplichiamo 21 per 29

21×29=609

e successivamente addizioniamo 609 e il resto della divisione

609+3=612

Il risultato coincide con il dividendo della divisione, dunque è tutto ok.

Prova della divisione con resto.

Come usuale suggerimento conclusivo, vi invitiamo a sottoporre agli alunni tanti esercizi e di guidarli nella loro risoluzione. La pratica permetterà loro di acquisire il metodo di calcolo con la tabella della divisione, di acquisire sicurezza e di diventare sempre più veloci.