Moltiplicazione

La moltiplicazione è un’operazione che associa a due numeri, detti fattori o rispettivamente moltiplicando e moltiplicatore, un terzo numero detto prodotto. Il prodotto si ottiene addizionando tanti addendi uguali al primo numero quante sono le unità che formano il secondo numero.

Prima di iniziare a parlare di tabelline e di algoritmi della moltiplicazione è necessario introdurre prima di tutto il significato logico della moltiplicazione e in particolare il concetto di moltiplicazione come addizione ripetuta. Senza procedere in tal senso la tavola pitagorica, le moltiplicazioni in colonna e tutto ciò che ne consegue sarebbero una sequenza di concetti sterili.

Nota: questa guida riguarda argomenti di Seconda Elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria.

Moltiplicazione tra due numeri come addizione ripetuta

Esistono diversi modi per introdurre l’operazione di moltiplicazione tra due numeri. Per cominciare partiremo dall’interpretazione più immediata: quella di moltiplicazione come addizione ripetuta.

Proponiamo agli alunni una semplice storia: Ester va ai giardinetti e scorge in un ciuffo d’erba tre fiori di colore giallo. Ogni fiore ha 5 petali. Quanti petali ci sono in tutto?

Rappresentiamo la situazione con un disegno

Moltiplicazione come addizione ripetuta.

Poniamo ora agli alunni le seguenti, semplici domande:

– quanti fiori ci sono? La risposta è ovviamente 3.

– Quanti petali ha ciascun fiore? 5 petali.

– Quanti petali ci sono in tutto?

Qui i bambini dovranno ragionare un pochetto. Possiamo seguire due strade:

A) contare tutti i petali uno per uno, raggiungendo comunque la risposta corretta, ossia 15.

B) Utilizzare il significato logico dell’addizione e calcolare un’addizione con tre addendi. Addizioniamo il numero dei petali dei primi due fiori e infine addizioniamo il terzo:

5 + 5 + 5 = 15

Abbiamo considerato un’addizione in cui ci sono 3 addendi uguali a 5. Per indicare questa particolare addizione, detta addizione ripetuta, utilizzeremo un nuovo simbolo: x (letto “per”). Gli operandi sono il 5 e il 3, e scriveremo

5 x 3 = 5 + 5 + 5

Definizione di moltiplicazione

Dopo questo, ed eventualmente altri esempi introduttivi, siamo pronti per spiegare ai bambini cos’è la moltiplicazione: la moltiplicazione tra due numeri è un’operazione che restituisce un terzo numero, che si ottiene addizionando tanti addendi uguali al primo numero quante sono le unità del secondo numero.

Con riferimento ai termini della moltiplicazione, gli operandi della moltiplicazione si chiamano fattori e in particolare:

– il primo fattore si chiama anche moltiplicando;

– il secondo fattore si chiama anche moltiplicatore;

– il risultato della moltiplicazione si chiama invece prodotto.

Operazione di moltiplicazione e termini della moltiplicazione.

Grazie alla precedente definizione possiamo iniziare a calcolare le prime moltiplicazioni:

2×3 = 2+2+2 = 6

4×5 = 4+4+4+4+4 = 20

9×1 = 9

A poco a poco gli alunni riusciranno ad interiorizzare il concetto e il calcolo delle moltiplicazioni diventerà sempre più immediato. Dovranno semplicemente addizionare il primo numero tante volte quante sono le unità del secondo.

Significato logico della moltiplicazione

Facciamo un piccolo passo avanti e utilizziamo gli insiemi, o più precisamente i gruppi. Con questo modo di procedere i bambini comprenderanno la stretta relazione tra la moltiplicazione e l’addizione ripetuta.

Moltiplicare due numeri tra loro significa:

– considerare tanti elementi quanti sono indicati dal primo fattore;

– considerare tanti gruppi, uguali tra loro, quanti sono indicati dal secondo fattore;

– contare gli elementi di tutti i gruppi.

In altre parole, una moltiplicazione può essere letta come conteggio dove il moltiplicando esprime il numero di elementi di ognuno dei gruppi e il moltiplicatore il numero di gruppi:

Moltiplicando x Moltiplicatore
Numero di elementi in ciascun gruppo Numero di gruppi

Esempio (Moltiplicazione con i gruppi)

3×2

Dobbiamo costruire 2 gruppi, ognuno dei quali ha 3 elementi

Moltiplicazione come raccoglimento per gruppi.

Contando gli elementi arriveremo al risultato, ovvero 6. Nell’esempio abbiamo utilizzato le mele, ma avremmo potuto considerare qualsiasi altro oggetto.

Altri esempi sulla moltiplicazione

1) Abbiamo due pacchetti di caramelle. In ogni pacchetto ci sono esattamente 10 caramelle. Quante caramelle abbiamo in tutto?

10 x 2 = 10+10 = 20

2) Uno scaffale ha 3 mensole. Su ogni mensola ci sono 3 vasi, quanti sono i vasi in tutto?

3 è il numero di gruppi, in ogni gruppo ci sono 3 vasi. In totale ci sono

3×3 = 3+3+3 = 9

dunque 9 vasi.

Moltiplicazione sulla linea dei numeri

Per rafforzare il concetto passeremo a proporre agli alunni un’attività didattica che possa consolidare la nozione di moltiplicazione come addizione ripetuta. Vediamo come eseguire la moltiplicazione sulla linea dei numeri, e in particolare sulla linea del 10.

Per moltiplicare

3×2

con la linea dei numeri, procederemo in questo modo:

– il primo numero indicherà l’ampiezza di ciascun salto.

– il secondo numero indicherà il numero di salti che devono essere effettuati.

Moltiplicazione sulla linea dei numeri.

Il risultato della moltiplicazione è il numero che abbiamo raggiunto: 3×2=6.

L’elemento assorbente per la moltiplicazione: lo zero

Ora, ahinoi, dobbiamo far capire ai bambini un concetto molto delicato: lo zero è l’elemento assorbente per la moltiplicazione. Cerchiamo di spiegarci nel modo più semplice possibile.

Cominciamo con la regola e spieghiamo che ogni numero moltiplicato per 0 fa 0, ad esempio

0x5 = 0+0+0+0+0 = 0

3×0=0

Proviamo a utilizzare i gruppi: 0x5 significa contare gli elementi di 5 gruppi vuoti. Il numero totale di elementi è zero!

Proviamo così, ora: 3×0. Quanti gruppi abbiamo? 0 gruppi. Quanti elementi ha ciascun gruppo? 3. Poiché abbiamo zero gruppi da tre elementi, il numero totale di elementi è zero.

L’elemento neutro rispetto alla moltiplicazione: 1

Abbiamo quasi finito, resta solo da spiegare che 1 è l’elemento neutro della moltiplicazione. Facciamo notare che vale la seguente regoletta: ogni numero moltiplicato per 1 dà il numero stesso, ad esempio:

5×1 = 5

1×5 = 5

L’intuito può essere aiutato con un esempio concreto:

– se possediamo 1 pacchetto di 5 caramelle, quante caramelle abbiamo in tutto? Ne abbiamo 5, naturalmente:

5×1 = 5

– se possediamo 5 pacchetti da 1 caramella ciascuno, quante caramelle avremo complessivamente? Sempre 5:

1×5 = 5