Raggruppamento al secondo ordine

Abbiamo già avuto modo di parlare dei raggruppamenti al primo ordine in una delle guide per la Prima Elementare. Qui riprenderemo il discorso parlando di raggruppamenti al secondo ordine. Questo argomento è necessario perché faciliterà l’introduzione del concetto di centinaia.

Nota: questa guida riguarda argomenti di Seconda Elementare, ed è rivolta a genitori, maestri e a chiunque sia appassionato alla didattica della Scuola Primaria.

Raggruppamento al secondo ordine

Sappiamo già cosa vuol dire raggruppare al primo ordine. Ora, che cosa significa raggruppare in una base al secondo ordine? La risposta a tale domanda non è così immediata, tutt’altro. Partiamo da un esempio.

Lester è andato con il nonno in campagna e ha raccolto 22 mele da un albero. Decide di inserire le mele in alcune retine. Per ogni gruppo di tre mele utilizzerà una retina. Per facilitare il trasporto delle mele, utilizzerà delle piccole scatole che contengono esattamente tre retine.

Cosa sta facendo il nostro amico Lester? Semplice, sta effettuando dei raggruppamenti: in parole povere crea dei gruppi con le mele, ma non si ferma qui. Crea dei gruppi di gruppi con le scatole.

Lo sappiamo, per il momento il discorso potrebbe apparire poco chiaro. Proviamo con una rappresentazione del problema e rappresentiamo le 22 mele, dopodiché le raggruppiamo a gruppi di tre.

Raggruppamento al primo ordine: gruppi semplici.

Attenzione: non abbiamo finito, raggruppiamo a gruppi di tre i gruppi di tre mele. Creiamo cioè dei gruppi di gruppi semplici.

Raggruppamento al secondo ordine: gruppi di gruppi semplici.

Ora contiamo:

– i gruppi in verde → i gruppi di gruppi sono 2;

– i gruppi semplici fuori dai grupponi → 1 solo;

– le unità: 1.

Una volta fissata una certa quantità che chiameremo base, fare un raggruppamento al secondo ordine significa creare gruppi di gruppi nella base scelta. Alcuni insegnanti li chiamano grupponi, o megagruppi, o ancora supergruppi.

La regola per formare i raggruppamenti al secondo ordine è la seguente:

1) ciascun gruppone avrà tanti gruppi semplici quante sono le unità della base;

2) ciascun gruppo semplice avrà tanti elementi quante sono le unità della base.

Raggruppamenti del secondo ordine e rappresentazione dei numeri in basi diverse

Grazie ai raggruppamenti al secondo ordine potremo passare dalla notazione in base 10 a una qualsiasi altra base. Vediamo come procedere partendo da un esempio.

Vogliamo esprimere il numero 7 in base 2.

Disegniamo 7 oggetti, ad esempio delle fragole, e suddividiamole in gruppi da due; in un secondo momento raggruppiamo a due a due i gruppi creando così i grupponi.

Raggruppamento al secondo ordine: dalla base 10 alla base 2.

Abbiamo 1 gruppone, 1 gruppo semplice, 1 unità. Scriveremo quindi:

7 = (111)2

Facciamo un altro esempio e scriviamo il numero 19 in base 4. Per farlo rappresenteremo 19 oggetti, ad esempio dei gelati, e li raggrupperemo quattro a quattro. Successivamente individueremo i gruppi di gruppi cerchiando 4 gruppi semplici alla volta.

Raggruppamento al secondo ordine: dalla base 10 alla base 4.

Abbiamo 1 gruppo di gruppi, 0 gruppi semplici, 3 unità, per cui scriveremo

19 = (103)4

Usare i raggruppamenti del secondo ordine per passare da una base diversa da quella decimale alla base 10

Possiamo fare anche il procedimento inverso: partiamo cioè da una base qualsiasi per giungere alla base 10. Non è complicato, bisogna solo disegnare un po’ e contare. Ormai i bambini saranno più che esperti! 🙂

Commenteremo un esempio dal quale dedurremo come funziona il procedimento. A tal proposito proviamo ad esprimere in base 10 il numero

(112)3

Prestiamo attenzione alla base. Nell’esempio che abbiamo scelto è 3. Il numero tra parentesi tonde è formato da tre cifre, che leggiamo da sinistra verso destra:

• la prima cifra, 1, indica il numero di gruppi del secondo ordine. Al suo interno troviamo tanti gruppi semplici quante sono le unità della base;

• la seconda cifra, 1, indica il numero di gruppi semplici che non formano un gruppone. Al suo interno troviamo tanti elementi quante sono le unità della base;

• la terza cifra, 2, indica le unità rimaste.

Raggruppamento al secondo ordine: dalla base 3 alla base 10.

Contiamo tutti i fiori: ce ne sono 14, e tale dunque è il numero (112)3 in base 10. Scriveremo:

(112)3 = 14

Un altro esempio, questa volta con le automobili!

(101)2

La base questa volta è 2. Analizziamo le cifre che compongono il numero in base 2, da sinistra a destra:

• 1: indica il numero di gruppi del secondo ordine. Disegniamo 1 gruppone con due gruppi semplici;

• 0: indica il numero di gruppi semplici, in questo caso nessun gruppo;

• 1: indica le unità rimaste.

Raggruppamento al secondo ordine: dalla base 2 alla base 10.

Contiamo le macchinine: il numero (101)2 è 5 in base 10.

(101)2= 5