Sottrazione con l’abaco

L’abaco è un grande amico dei bambini: li aiuta a prendere confidenza con i calcoli (a partire dall’addizione con l’abaco, di cui abbiamo parlato nella precedente guida). In questa pagina vi daremo qualche consiglio per spiegare ai bambini come calcolare la sottrazione con l’abaco: all’inizio potranno avere alcune difficoltà, ma con un po’ di allenamento riusciranno a superare ogni ostacolo.

Esattamente come nel caso dell’addizione, raccomandiamo prudenza perché il calcolo delle sottrazioni con l’abaco è propedeutico per le sottrazioni in colonna, che saranno fondamentali nel prosieguo degli studi. 

Sottrazione senza prestito con l’abaco

Per cominciare spiegheremo ai bambini come sottrarre due numeri con l’abaco senza prestito alla decina. Partiamo da un esempio: vogliamo usare l’abaco per calcolare la sottrazione:

19-17

 

Poniamo alcune domande preliminari relative ai termini della sottrazione:

 

– qual è il minuendo? 19.

 

– Qual è il sottraendo? 17.

 

Adesso riempiamo l’abaco partendo dal minuendo.

 

Nella guida delle unità inseriremo tante palline quante sono le unità del minuendo: 9 u.

 

Nella guida delle decine inseriremo invece tante palline quante sono le decine del minuendo: 1 da.

 

È il momento di svolgere la sottrazione: dalla guida delle unità toglieremo tante palline quante sono le unità del sottraendo, nel nostro esempio 7 u. Il numero di palline rimaste sarà la cifra delle unità della differenza.

 

Dalla guida delle decine toglieremo invece tante palline quante sono le decine del sottraendo: nel nostro caso 1 da. Il numero di palline rimaste rappresenterà la cifra delle decine del risultato della sottrazione.

Calcolo di una sottrazione con l’abaco senza prestito.

 

Non ci resterà che leggere il numero rappresentato nell’abaco (abbiamo parlato del metodo di lettura nella guida sull’abaco), nel nostro esempio 2, e saremo quindi in grado di scrivere la sottrazione con tanto di totale

 

19-17=2

 

Fin qui tutto liscio. I bambini non dovrebbero avere problemi nel digerire il procedimento di sottrazione con l’abaco senza prestito alla decina. Dopo aver esposto il metodo con altri esempi, proporremo qualche esercizio che gli alunni dovranno tentare di svolgere in completa autonomia (ma sempre sotto la nostra supervisione).

 

Sottrazione con prestito con l’abaco

 

I problemi sorgono quando la cifra delle unità del minuendo è minore dell’unità del sottraendo: in tal caso le unità del minuendo hanno bisogno di un prestito. Si parla quindi di sottrazioni con l’abaco con prestito.

 

Qui comincia la parte divertente! 🙂 L’abaco ci permetterà di introdurre il concetto di prestito dalla decina. Come nel caso precedente, lavoreremo con un esempio-guida: supponiamo di voler usare l’abaco per calcolare il risultato della sottrazione

 

23-15

 

– Il minuendo è 23 e ha due decine e tre unità: 2 da 3 u.

 

– Il sottraendo è 15 e ha una decina e cinque unità: 1 da 5 u.

 

Rappresentiamo il numero 23 con l’abaco. Il passo successivo consisterà nel togliere tante palline unità quante sono le unità del sottraendo, ossia 5, ma attenzione…

 

…Nella guida delle unità non abbiamo palline a sufficienza. Chiediamo in prestito una pallina decina, la trasformiamo in 10 palline unità e le inseriamo nella relativa guida: avremo in totale 13 palline unità.

Calcolo di una sottrazione con l’abaco con prestito: 
prestito da decine a unità.

 

Togliamo le unità del sottraendo e contiamo quelle rimaste: il numero che otterremo sarà l’unità del risultato.

E sulla guida delle decine cosa succede? Abbiamo già perso una decina perché prestata alla guida delle unità; a questo punto dobbiamo togliere un numero di palline pari alla cifra delle decine del sottraendo, ossia 1.

Calcolo di una sottrazione con l’abaco con prestito: 
risultato finale.

Abbiamo praticamente finito: contiamo le palline unità e le palline decine:

23-15=8

 

Questioni didattiche

 

Dal punto di vista didattico, l’abaco permette di introdurre in modo molto graduale e poco traumatico il prestito della decina, che come ben sappiamo non è affatto immediato per la mente di un bambino. Va evidenziato inoltre che l’attività didattica, finalizzata all’apprendimento dell’operazione di sottrazione, presenta solo un suo aspetto logico: la sottrazione come resto.

Addizioni in colonna

L’addizione in colonna è un metodo per il calcolo delle addizioni che si apprende alle scuole elementari e che viene usato, spesso e volentieri, nella vita di tutti i giorni. Si distingue tra addizioni in colonna senza prestito e con prestito.

Il calcolo delle addizioni in colonna è universalmente considerato (dai più grandi) come una tecnica semplice da applicare, ma riusciamo a ricordare lo sforzo mentale che abbiamo fatto per impararlo? 🙂 In questa guida proponiamo alcune indicazioni per spiegare ai bambini come procedere, trattando dapprima il caso senza riporto (o cambio) e successivamente quello con riporto.

Addizioni in colonna senza riporto

Partiamo dalle cose semplici e introduciamo l’addizione in colonna senza cambio, proponendo ai bambini un esempio. Mostriamo agli alunni come calcolare in colonna l’addizione:

13+15

 

Il primo addendo è 13, il secondo addendo è 15. Innanzitutto scriviamo quella che da ora in poi chiameremo tabella dau per l’addizione in colonna (o tabella decine-unità):

Tabella decine-unità (dau) per l’addizione in colonna.

La tabella dau ha una linea verticale che separa la cifra delle unità (colonna delle unità, a destra) da quelle delle decine (colonna delle decine, a sinistra).

Come si incolonnano gli addendi?

 

I bambini dovranno innanzitutto imparare ad incolonnare gli addendi, ossia a riempire correttamente la tabella dau. Non dobbiamo dare nulla per scontato:, non è un passaggio immediato per chi affronta per la prima volta questo argomento.

 

Consideriamo l’addizione rappresentata nella precedente immagine e vediamo come incolonnarla, per poi calcolarla:

13+15

Si prende il primo addendo, 13, e si inserisce nella colonna delle unità u la cifra delle unità, mentre nella colonna delle decine da si inserisce la cifra delle decine. In questo modo il primo addendo è incolonnato.

 

Si procede allo stesso modo per il secondo addendo. Si riportano sotto le unità del primo addendo quelle del secondo addendo, e sotto le decine del primo addendo vanno riportate quelle del secondo addendo.

 

Adesso la parte facile:

 

– si addizionano le unità con le unità. 3+5=8, dove 8 sarà l’unità della somma;

 

– si addizionano tra loro le decine. 1+1=2, dove 2 sarà la decina della somma. 

 

In particolare facciamo notare ai bambini che:

 

– si comincia sempre ad addizionare dalle unità;

 

– addizionando tra loro rispettivamente le unità e le decine, non abbiamo mai superato il numero 9, e che quindi non abbiamo dovuto effettuare alcun cambio.

 

Sarà inoltre fondamentale che i bambini si esercitino molto, così che tutto il processo diventi automatico. Quando i bambini acquisiranno una sufficiente sicurezza potranno anche fare a meno di riportare la guida verticale.

 

Addizioni in colonna con il riporto (o cambio)

 

Facciamo un passo in avanti e occupiamoci dell’addizione in colonna con riporto (detta anche addizione in colonna con cambio).

 

I bambini avranno già appreso dall’addizione con l’abaco il concetto di riporto o cambio, per cui l’introduzione del riporto nell’addizione in colonna dovrebbe risultare meno traumatica.

 

Utilizziamo anche in questo caso un esempio-guida e addizioniamo 19 e 5:

 

19+5

 

Il primo addendo è 19, il secondo addendo è 5. Incolonniamoli seguendo lo stesso principio, ovvero unità sotto le unità e decine sotto le decine. 

 

Addizioniamo tra loro le unità: 9+5=14.

 

Ora si pone un problema per niente banale: non possiamo scrivere 14 perché è un numero maggiore di 9. In una situazione del genere, lasciamo le unità del numero nella colonna e riportiamo una decina nella colonna delle decine. Addizioniamo infine tra loro le decine, così da ottenere:

 

 

19+5=24

Sottrazioni in colonna

Il metodo di sottrazione in colonna, alla stregua delle addizioni in colonna, prevede di svolgere l’operazione con l’ausilio della tabella decine-unità, e a seconda dei casi può essere senza prestito o con prestito (senza cambio o con cambio).

Le sottrazioni in colonna sono abbastanza impegnative perché i bambini hanno da poco imparato a calcolare le addizioni in colonna e il rischio di confondere i due procedimenti è assicurato. Anche in questo caso bisogna scomporre il procedimento in passaggi elementari, e nella fattispecie insegnare agli alunni ad incolonnare correttamente i numeri per poi passare al calcolo. Per quanto i singoli passaggi possano sembrare banali, non possiamo permetterci di tralasciare nulla!

Sottrazioni in colonna senza prestito

Iniziamo con la sottrazione in colonna senza prestito, ossia dal caso in cui ogni cifra del minuendo è maggiore della corrispondente cifra del sottraendo. Come al solito conviene partire da un esempio commentato passaggio per passaggio, in modo che i bambini possano farsi un’idea preventiva sul metodo.

Eseguiremo la sottrazione tra 19 e 15:

 

19-15

 

Prima di partire a razzo, facciamo un ripasso dei termini della sottrazione e chiediamo ai bambini qual è il minuendo e qual è il sottraendo. Il minuendo è 19, il sottraendo invece è 15. Possiamo iniziare.

 

1) Scriviamo la tabella dau per la sottrazione

Tabella decine-unità (dau) per le sottrazioni in colonna.

 

La tabella dau per la sottrazione è molto simile a quella dell’addizione, le uniche differenze riguardano il simbolo (meno in luogo del più) e ovviamente i termini delle operazioni (minuendo, sottraendo).

2) Riempiamo la tabella riportando prima il minuendo.

Quante decine ha il minuendo, e quante unità? Nel nostro esempio 19 ha 1 decina e 9 unità, per cui scriveremo 1 nella colonna delle decine e 9 nella colonna delle unità.

Il sottraendo 15 ha 1 decina e 5 unità, per cui scriveremo 1 nella colonna delle decine e 5 nella colonna delle unità. Riportiamo le cifre del sottraendo al di sotto di quelle del minuendo.

3) Sottraiamo le unità

Dovremo quindi sottrarre le unità del sottraendo, 5, dalle unità del minuendo, 9, e dunque 9-5=4.

Il risultato ottenuto rappresenta le unità della differenza. I bambini che hanno maggiore difficoltà possono aiutarsi con le dita o con l’abaco. Cerchiamo di non essere troppo severi e diamo loro il tempo di acquisire una discreta sicurezza.

Riportiamo il risultato nella colonna delle unità, come in figura.

 

4) Sottraiamo le decine

 

Nell’esempio 1-1=0, per cui non dobbiamo scrivere nulla nella colonna delle decine della tabella dau.

 

Il metodo di sottrazione in colonna ci ha permesso di ricavare il risultato dell’operazione, che è 4. Abbiamo finito!

 

19-15=4

 

Attenzione agli errori più comuni che i bambini tendono a commettere, come pure ai dubbi che potrebbero manifestarsi quando il sottraendo è formato da una sola cifra: in tal caso potrebbe capitare che qualche bambino inserisca l’unità nella colonna delle decine, o invertire la cifra della decine con quella delle unità.

 

Sottrazioni in colonna con prestito dalla decina

 

Passiamo a spiegare agli alunni la sottrazione in colonna con il prestito dalla decina, la quale non è affatto semplice da capire quando viene affrontata per la prima volta, né è semplice da spiegare. A questo proposito ciò che abbiamo visto nella guida sulle sottrazioni con l’abaco sarà di grande aiuto.

 

Il meccanismo non è naturale e il cosiddetto prestito alla decina può creare numerosi problemi, soprattutto in quei bambini che hanno problemi nell’addizionare due numeri. Servono calma, pazienza e spirito motivazionale.

 

Per mostrare agli alunni come procedere utilizzeremo un esercizio guida: calcoleremo la sottrazione

 

23-15

 

Come nel caso precedente incolonneremo i numeri a partire dal minuendo, inserendo le unità sotto le unità e le decine sotto le decine

 

Ora calcoliamo la sottrazione tra le unità… Ops! 3-5 non si può calcolare, perché le unità del minuendo sono in numero minore rispetto alle unità del sottraendo.

 

Per risolvere il problema le unità del minuendo prendono in prestito una decina dalla cifra delle decine.

 

Vediamo come funziona:

 

– la cifra delle decine perde una unità: sbarriamo la cifra delle decine e scriviamo in piccolo il numero precedente. Nel nostro caso il 2 della decina diventerà 1;

 

– la cifra delle unità acquista una decina: metteremo quindi un 1 a fianco alla cifra, nel nostro esempio il 3 diventa 13

 

Calcolo di una sottrazione in colonna
con prestito dalle decine alle unità.

 

 

Nella colonna delle unità abbiamo ora 13, a cui dobbiamo togliere 5. Possiamo procedere in due modi:

 

– partire da 5 e contare fino ad arrivare a 13 (sottrazione come differenza);

 

– partire da 13 e contare all’indietro di 5 unità (sottrazione come resto).

 

In entrambi i casi arriveremo allo stesso risultato: 8.

 

Spostiamoci ora nella colonna delle decine e sottraiamo: 1-1=0. Il risultato sarà 8.

 

Esempio di sottrazione in colonna con prestito.

 

 

La sottrazione in colonna è difficile? Sì, lo è, per cui nei primi esempi potremmo permettere ai bambini di aiutarsi con l’abaco, il quale li aiuterà a comprendere a fondo come funziona il prestito alla decina. Con il passare del tempo la sottrazione in colonna, che sia con o senza riporto, diventerà un automatismo e gli alunni potranno rinunciare all’abaco agilmente.

 

Numeri da 21 a 30

Siamo pronti per passare a parlare dei numeri da 21 a 30? A questo punto, in prima elementare, i bambini sanno già contare da 0 a 20 e comprendono che tali numeri rappresentano determinate quantità. Nelle precedenti guide tra le altre cose ci siamo occupati:

– dei numeri da 0 a 9

– del numero dieci

– dei numeri da 11 a 20.

E se superassimo il famigerato numero 20? Sicuramente alcuni bambini sapranno già contare con scioltezza fin oltre il numero 40, ma saranno effettivamente in grado di comprendere davvero quali quantità rappresentino tali numeri? O si tratterà solo della solita filastrocca di cui si servono per sorprendere parenti o amici?…

Come scrivere i numeri da 21 a 30

I bambini sanno come intrattenere gli adulti con spettacolari performance matematiche… D’altronde tengono moltissimo ad accaparrarsi attenzioni, giudizi positivi e applausi dagli adulti. 

Dobbiamo però stare attenti e capire cosa effettivamente sappiano. Saper ripetere a cantilena i numeri da 21 a 30 non significa affatto che essi sappiano davvero contare. La cantilena faciliterà di sicuro lo studio dei numeri, ma il passo dalle rime alla comprensione non è immediato.

Innanzitutto dovremo spiegar loro come scrivere i numeri da 21 a 30 e quali sono le quantità che rappresentano. Prima di cominciare sarebbe opportuno iniziare con un velocissimo ripasso della decina.

 

 

Quantità	da	u	Decomposizione	Nome	Numero
	2	1	2 decine 1 unità	Ventuno	21
	2	2	2 decine 2 unità	Ventidue	22
	2	3	2 decine 3 unità	Ventitré	23
	2	4	2 decine 4 unità	Ventiquattro	24
	2	5	2 decine 5 unità	Venticinque	25
	2	6	2 decine 6 unità	Ventisei	26
	2	7	2 decine 7 unità	Ventisette	27
	2	8	2 decine 8 unità	Ventotto	28
	2	9	2 decine 9 unità	Ventinove	29
	3	0	3 decine 0 unità	Trenta	30

 

 

Nella tabella troviamo, nell’ordine:

– quantità: ogni numero può rappresentare una quantità precisa di oggetti, ed è fondamentale che i bambini comprendano questa informazione.

– da, u: rispettivamente il numero di decine e di unità. 

– Decomposizione: è la decomposizione del numero in decine e unità. Concetto fondamentale perché non abbiamo ancora accennato al fatto che il nostro sistema numerico è posizionale (lo faremo presto).

– Nome: ogni numero ha un nome, i bambini devono conoscerlo ma soprattutto saperlo associare alla relativa rappresentazione grafica.

– Numero: la grafia del numero.

I numeri da 21 a 30 sulla linea dei numeri

In precedenza i bambini si sono già interfacciati con la linea dei numeri dallo 0 al 20. Ora è il momento di estenderla; per questioni di spazio riporteremo solo la parte che ci interessa, ossia la linea dei numeri che parte da 21 e arriva a 30.

Estensione della linea dei numeri da 21 a 30.

 

Una volta presentata la linea dei numeri, i bambini disporranno di una nuova tecnica per confrontare i numeri. Inoltre sarà nostra premura spiegare agli alunni che non possiamo più fare affidamento alle quantità, non tanto perché è impossibile, piuttosto perché diventa sempre più faticoso rappresentare il numero necessario di oggetti.

Passo dopo passo predisponiamo i bambini verso l’astrazione, abbandonando pian piano il concetto di quantità a favore degli algoritmi.

Confronto tra numeri (non superiori a 30)

Ora che abbiamo esteso l’insieme dei numeri conosciuti, possiamo anche ampliare il confronto tra due numeri prendendo in considerazione coppie di numeri non superiori a 30:

 

1) prima di tutto si confrontano le decine. Il numero che ha più decine sarà il numero più grande.

 

Ad esempio 13 è minore di 24 perché il primo numero ha una decina, mentre il secondo ne ha due. Scriveremo quindi:

 

13<24

 

2) Se le decine sono uguali, si confrontano le unità. In questo caso il numero con più unità sarà il maggiore tra i due.

 

Ad esempio 25 è minore di 26, perché sia il primo che il secondo numero hanno due decine, ma confrontando le unità è evidente che il primo numero ne ha 5 mentre il secondo ne ha 6. Scriveremo quindi:

 

25<26

 

3) Infine, se sia le decine che le unità dei due numeri coincidono, allora essi sono uguali.

 

Ad esempio 29 è uguale a 29, perché i due numeri hanno la stessa cifra della decina e la stessa cifra delle unità, per cui scriveremo:

 

29=29

 

I numeri dal 21 al 30 con l’abaco

 

Una piccola parentesi sull’utilizzo dell’abaco con i numeri dal 21 al 30. Nulla di difficile, bisogna seguire sempre lo stesso ragionamento: inseriremo tante palline nella guida delle decine quante sono le decine, tante palline nella guida delle unità quante sono le unità.

 

Esempio. Rappresentiamo 26 con l’abaco. Inseriamo 2 palline rosse nella guida delle decine, 6 palline blu nella guida delle unità:

Rappresentazione con l’abaco di un numero tra 21 e 30.

 

 

Tappa alla decina e amici del dieci

Sappiamo bene eseguire le addizioni in colonna e le sottrazioni in colonna, o ancora con l’aiuto dell’abaco, ma non dobbiamo sottovalutare la potenza di calcolo del nostro cervello, anzi dobbiamo rinforzare le sue capacità così da eseguire velocemente i conti senza carta e penna.

In questo senso i numeri amici del 10 e il metodo della tappa alla decina (o fermata alla decina) si rivelano di grande aiuto, perché in svariati casi permettono di rielaborare le operazioni di addizione e sottrazione in una forma più semplice.

Tappa alla decina

Moltissimi ragazzi che frequentano la scuola secondaria di primo grado (ex scuola media inferiore) hanno difficoltà nell’eseguire a mente anche delle semplici addizioni. Si tratta di una lacuna che si ripercuote per l’intera durata del loro percorso scolastico e… Oltre.

I numeri fanno parte della nostra vita:

– al mattino quando suona la sveglia;

– quando controlliamo il resto della spesa;

– quando cerchiamo un certo numero di caramelle al negoziante;

e così via… Pur vivendo in un mondo immerso e dominato dai numeri, l’intelligenza matematica e le capacità analitiche diminuiscono già col passare degli anni scolastici. Che cosa succede? Senza le giuste basi e senza il costante esercizio, il cervello comincia immediatamente a perdere colpi.

Per limitare questa problematica dobbiamo esercitarlo molto e in modo furbo, e soprattutto dobbiamo abituarci ad eseguire i calcoli con la sola forza della nostra mente, senza carta e penna e soprattutto senza calcolatrice. A tal proposito, possono rivelarsi particolarmente utili alcune opportune tecniche: gli amici del dieci per l’addizione e la fermata alla decina per le sottrazioni!

 

Mettiamo subito in chiaro che la tappa alla decina non può essere sempre applicata e che richiede determinati presupposti, di cui però ci occuperemo nel seguito. Ora vediamo come spiegare ai bambini la tecnica della fermata alla decina, in modo da accompagnarli ulteriormente nel cammino verso l’astrazione matematica.

 

Gli amici del 10

 

Gli amici del dieci sono due numeri che addizionati danno come somma 10.

 

Qualche esempio:

 

5 e 5 sono amici del 10, infatti 5+5=10;

 

6 e 4 sono amici del 10, infatti 6+4=10

 

Riportiamo la tabella dei numeri amici del 10:

Gli amici del dieci.

Essi sono ottimi alleati nel calcolo delle addizioni e delle sottrazioni, ed è utile riproporli agli alunni in modo che li tengano a mente.

Addizione con tappa alla decina

Vediamo come spiegare ai bambini le tecniche di addizione con fermata alla decina. Il primo metodo che introduciamo prevede di lavorare sulle unità del secondo addendo in modo da raggiungere la decina.

Come al solito partiamo proponendo un esempio-guida: vogliamo calcolare l’addizione

 

19+8

 

Chiediamoci:

 

– qual è l’amico del 10 per l’8? È il 2.

 

– Sottraiamo 2 a 19 e otteniamo 17, e addizioniamo 2 a 8 ottenendo 10.

 

– Sommiamo, e otteniamo

 

17+10=27

 

e quindi

 

19+8=27

 

Il metodo non è immediato, soprattutto per i bambini che hanno avuto difficoltà nell’apprendere le operazioni, per cui consigliamo di indurre gli alunni a riportare ogni singolo passaggio sul quaderno.

 

Ecco due possibili modi per rappresentare la precedente addizione con il metodo della tappa alla decina. L’uso delle frecce o delle parentesi è a discrezione dell’insegnante, maestro o genitore che sia. 

Fermata alla decina per l’addizione con frecce e parentesi:
unità del secondo addendo.

Una buona dose di esempi sulla falsariga del precedente aiuteranno i bambini a digerire, seppur inconsciamente al principio, la logica che regola l’addizione con la fermata alla decina.

Nel seguito passiamo a proporre un diverso approccio, lavorando sulle unità del primo addendo in modo da raggiungere la decina.

Riprendiamo il precedente esempio e lavoriamo con le unità del numero 19. Prima di tutto individuiamo l’amico del 10 di 9. La tabella ci dice che è 1.

Sommiamo 1 a 19, ottenendo 20, e sottraiamo 1 a 8, ottenendo 7.

 

Sommiamo 7 a 20, ottenendo 27 che è la somma tra 19 e 8.

 

7+20=27

 

Abbiamo ottenuto lo stesso risultato, ma in questo caso abbiamo utilizzato l’amico del dieci per l’unità del primo addendo.

Fermata alla decina per l’addizione con frecce e parentesi:
unità del primo addendo.

Come si intuisce facilmente, e indipendentemente dall’addendo che si considera, gli amici del dieci semplificano i conti perché fanno comparire degli zeri.

 

Sottrazione con la fermata alla decina

 

Quando vogliamo sottrarre due numeri possiamo utilizzare la tecnica che prende il nome di fermata alla decina per la sottrazione. Per spiegarla procederemo con un esempio:

 

17-9=8

 

Il risultato è 8, ma come facciamo a calcolarlo in modo furbo?

 

Il trucco è togliere l’unità del minuendo all’unità del sottraendo. Nel nostro caso l’unità del minuendo è 7, l’unità del sottraendo è 9. Scriveremo:

Tappa alla decina per la sottrazione con frecce e parentesi:
unità del minuendo.

 

Si intuisce subito che la tappa alla decina per la sottrazione, riferita all’unità del minuendo, funziona solo quando l’unità del minuendo è minore dell’unità del sottraendo.

 

Giusto per fissare le idee facciamo un altro esempio. Vogliamo calcolare

 

13-7

 

Qual è la cifra delle unità del minuendo? 3.

 

Qual è l’unità del sottraendo? 7.

 

Togliamo 3 sia al minuendo che al sottraendo così da scrivere:

 

10-4=6

Altro esempio di tappa alla decina per la sottrazione,
riferita al minuendo.

Precedente e successivo di un numero

Come si può spiegare a un bambino di prima elementare i concetti di precedente di un numero e di successivo di un numero? Per procedere dobbiamo inevitabilmente affidarci alle (poche) nozioni di cui già dispongono, limitando il più possibile l’astrazione e aiutandoli con attività didattiche ed esempi pratici.

Abbiamo già introdotto i simboli di minore, maggiore e uguale e conosciamo già il loro significato. Grazie ad essi abbiamo stabilito un ordine, o meglio un metodo di confronto tra numeri: numero più piccolo e numero più grande. Qui parleremo di precedente e successivo di un numero, nozioni strettamente legate ai più intuitivi concetti uno in più e uno in meno.

Numero precedente e successivo, premessa:

uno in più, uno in meno

Per spiegare ai bambini le nozioni di uno in più ed uno in meno utilizzeremo le caramelle; innanzitutto perché sono buone 😉 e in secondo luogo perché i bambini ne sono ghiotti. Oltretutto essi avranno già avuto esperienze dirette del significato di uno in più e uno in meno, per cui l’approccio risulterà meno ostico.

I bambini di prima elementare, a questo punto, hanno già un’idea intuitiva di insieme. Rappresentiamo quindi un gruppo di 5 caramelle.

 

Approccio visivo alle nozioni di
precedente e successivo di un numero.

Aggiungiamo una caramella nell’insieme: più precisamente, aggiungiamo un elemento. Passeremo da un insieme di 5 caramelle a uno che ne ha 6.

 

Uno in più e successivo di un numero con gli insiemi.

Il precedente semplice esempio ci permetterà di spiegare ai bambini che uno in più significa avere un ulteriore elemento in un insieme.

Adesso vediamo cosa s’intende con uno in meno. Partiamo come sempre dall’insieme delle 5 caramelle: questa volta toglieremo una caramella e domanderemo qual è il numero di caramelle che rimangono: 4.

Uno in meno e precedente di un numero con gli insiemi.

In questo caso, diremo ai bambini che uno in meno significa che un elemento di un insieme viene a mancare. Per indicare questa l’operazione di togliere un elemento da un insieme abbiamo usato un nuovo simbolo: il segno – (segno meno). Nelle prossime guide vedremo che è lo stesso simbolo che serve a indicare un’importante operazione matematica: la sottrazione.

Attenzione: dopo aver proposto alcuni esempi sulla falsariga dei precedenti, dovremo trattare un caso particolare: diremo ai bambini che se non abbiamo alcuna caramella, ossia se possediamo 0 caramelle, non possiamo togliere una caramella. Tale informazione ci tornerà utile nel seguito della spiegazione.

Dopo questa piccola e veloce premessa, possiamo parlare di numero precedente e numero successivo, iniziamo!

Successivo di un numero

Nella guida didattica sui simboli minore, maggiore e uguale abbiamo introdotto la linea dei numeri e abbiamo detto che i numeri da 0 a 9 possono essere ordinati a partire dal più piccolo (lo 0). Richiamiamo l’attenzione dei bambini all’utilizzo della linea dei numeri e spieghiamo loro che l’ordinamento dei numeri da zero ha un significato ben preciso: i numeri sono ordinati in modo crescente!

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

A questo punto spiegheremo che partendo dal numero 0, che conta come “nessuna quantità”, il successivo di 0 è il numero che si trova immediatamente dopo, ovvero l’1; il successivo del 1 è il 2, il successivo del 2 è il 3…

Con l’aiuto della linea dei numeri possiamo dare ai bambini una definizione precisa di successivo di un numero: il successivo di un numero si trova aggiungendo un’unità in più al numero, cioè passando al numero più vicino a destra sulla linea dei numeri.

Se questo non fosse sufficientemente chiaro, rafforziamo l’apprendimento con delle rappresentazioni, utilizzando la nozione: uno in più.

Esempio (Successivo di un numero)

Vogliamo sapere qual è il numero successivo a 5. Rappresentiamo un insieme di cinque oggetti, ad esempio delle biglie, e successivamente un altro insieme con le 5 biglie, cui ne aggiungiamo una. Contiamo gli elementi del nuovo insieme: sono 6. 

 

 

 

Verbalizzeremo il concetto dicendo che 6 è il successivo di 5.

Precedente di un numero

Con una spiegazione del tutto analoga a quella appena vista, i bambini potranno imparare agevolmente il concetto di precedente di un numero. Partiremo anche in questo caso dai numeri ordinati.

Il precedente di 4 è 3 perché 3 si trova immediatamente prima di 4 sulla linea dei numeri.

Con le quantità, e con eventuali esempi visivi, potremo convincere i bambini del fatto che 3 è il precedente di 4 perché 4 conta quattro unità: se ne eliminiamo una, ne otterremo 3.

Riassumeremo in questo modo: il precedente di un numero si trova considerando un’unità in meno rispetto al numero.

Se qualche bambino ha ancora qualche perplessità e con i disegni non riesce a comprendere, intraprenderemo delle attività di potenziamento con qualche oggetto concreto, bastano delle matite colorate o dei bottoni. Anche i regoli possono rivelarsi particolarmente utili al caso nostro.

Lo zero non ha il precedente

Esiste un numero particolare che non ha precedente, e questo simpatico numero è lo 0 (zero). Sappiamo che lo zero conta nulla, ossia nessuna quantità, di conseguenza non possiamo togliere una unità da esso. Come potremmo trasmettere tale idea ai bambini? Consideriamo zero biglie, e chiediamo ai bambini se è possibile toglierne una. La risposta sarà no, chiaramente.

 

 la prossima puntata del corso:  metodi per calcolare le addizioni.

 

La linea dei numeri

Tra i primi strumenti didattici di cui si avvalgono gli insegnanti di matematica (e di cui volenti o nolenti si devono avvalere i genitori) troviamo certamente la linea dei numeri. Qui di seguito parleremo di tutti gli aspetti didattici che contraddistinguono la linea dei numeri: cos’è, come si usa e come possiamo spiegarla agli alunni.

La linea dei numeri

Per questioni strettamente legate alla didattica della Matematica, la linea dei numeri viene presentata con più nomi e la prima che i bambini incontrano è la linea del 10.

Linea dei numeri fino a 10.

Si tratta di una linea dritta divisa in 10 parti uguali, ciascuna delle quali prende il nome di unità. Le dieci parti sono separate da tacche verticali sotto cui vanno scritti i numeri dallo 0 al 10 in ordine crescente.

 

Più avanti nel corso degli studi, oltre alla linea del 10 viene presentata ai bambini la linea dei numeri fino al 20, ossia una linea suddivisa questa volta in 20 parti, separate da delle tacche, numerate ordinatamente da 0 a 20. Ovviamente non se ne potrà parlare prima di aver spiegato i numeri dal 11 al 20.

Linea dei numeri fino a 20.

Man mano che i bambini prendono confidenza con numeri sempre più grandi, la linea dei numeri si allungherà di conseguenza. A seconda delle preferenze didattiche dell’insegnante, dopo aver trattato il numero cento sentiranno eventualmente parlare anche della linea dei numeri fino al 100, ossia una linea suddivisa in 100 parti.

Come utilizzare la linea dei numeri

Come preannunciato, la linea dei numeri rientra tra i primi strumenti didattici di un insegnante di Scuola Primaria. È uno strumento potente perché permette di introdurre numerosi argomenti. Qui citeremo i principali utilizzi proponendo per ciascuno di essi un esempio; per gli approfondimenti del caso vi rimandiamo di volta in volta alla lettura della guida correlata.

Procedendo con un certo ordine didattico, la linea dei numeri può servire per trovare il precedente e il successivo di un numero. Per spiegare ai bambini come funziona è sufficiente proporre qualche esempio, chiedendo di individuare un numero a nostra scelta sulla linea dei numeri.

Una volta individuato il numero, i bambini dovranno concentrare la propria attenzione sui numeri che si trovano a sinistra e a destra del numero: essi rappresentano rispettivamente il precedente e il successivo del numero considerato. Attenzione alle eccezioni: prima di affrontare lo studio dei numeri interi in quinta elementare, gli alunni ragioneranno solo ed esclusivamente con linee di numeri che partono da zero, ed in questo contesto lo zero non ha precedente.

Precedente e successivo di un numero sulla linea dei numeri.

 

Oltre a questo, la linea dei numeri permette ai bambini di apprendere qual è l’ordinamento naturale dei numeri e dunque sarà loro possibile confrontare due numeri in un battito di ciglia. È sufficiente infatti tenere a mente la regola: un numero è più grande di tutti quelli che si trovano alla sua sinistra sulla linea dei numeri, ed è più piccolo di tutti quelli che si trovano alla sua destra.

Esempio (Confronto tra due numeri con la linea dei numeri)

Per confrontare 3 e 7 i bambini dovranno prima di tutto individuarli sulla linea dei numeri, e successivamente chiedersi qual è il numero che si trova più a destra: esso sarà il numero più grande tra i due.

 

Confronto tra due numeri con la linea dei numeri.

Metodi per calcolare le addizioni

I primi e più elementari metodi per calcolare le addizioni in Prima Elementare sono tre: addizioni con le dita, utilizzo della tabella dell’addizione e addizioni con la linea dei numeri.

 

Abbiamo già avuto modo di parlare dell’addizione, la più facile delle operazioni elementari nonché la prima operazione che i bambini apprendono alla scuola primaria. In questa guida vedremo insieme alcune tecniche per addizionare due numeri, con le quali i bambini muoveranno i primi passi nel mondo delle operazioni. Proporremo inoltre alcuni metodi per agevolarne l’apprendimento.

 

 

Addizioni con le dita

 

Il primo e più intuitivo tra i metodi per addizionare due numeri prevede l’uso delle dita. Ebbene sì: le dita costituiscono la prima calcolatrice che abbiamo a disposizione, ed è importante che i bambini imparino presto a servirsene per addizionare due numeri.

 

Come sommare con le dita: per spiegare ai bambini la tecnica di addizione con le dita partiremo da un esempio semplice. Vogliamo calcolare l’addizione

 

 

Come procediamo? Esistono due strade, entrambe valide.

 

Prima strada. Alziamo tante dita quante sono le unità del primo numero, nell’esempio 3. Ad una ad una alziamo tante dita quante sono le unità del secondo numero, 5 dita. Infine contiamo tutte le dita alzate.

 

 

Esempio di addizione con le dita – Primo metodo.

 

 

Seconda strada. Chiediamo ai bambini di tenere a mente il numero più grande tra i due: nell’esempio considerato, 5. Alziamo tante dita quante sono le unità del numero più piccolo. Partendo dal cinque conteremo le dita alzate: sei – sette – otto. 8 è la somma dell’addizione tra 3 e 5.

 

 

Esempio di addizione con le dita – Secondo metodo.

 

 

I vantaggi del secondo metodo sono evidenti: i bambini impiegheranno meno tempo nel calcolo dell’addizione tra due numeri e faranno molta meno fatica. Con il passare delle settimane e con il continuo esercizio passeranno autonomamente dal calcolo digitale al calcolo mentale puro.

 

La tabella dell’addizione

 

La seconda tecnica di addizione da proporre ai bambini prevede di ricorrere alla tabella dell’addizione.

 

Si tratta di una tabella definita nel modo seguente: nella prima riga e nella prima colonna troviamo i numeri dallo zero al nove, scritti in ordine crescente. Il primo simbolo che incontriamo nella tabella è il simbolo dell’addizione: +. Per ogni casella si considerano la riga e la colonna che la formano incrociandosi, e si riempie la casella con la somma tra i due numeri di inizio riga e di inizio colonna.

 

La tabella dell’addizione può essere utile per i bambini che hanno qualche piccola difficoltà iniziale, dunque se servisse la potremmo proporre ai bambini per aiutarsi con le primissime addizioni che calcolano.

 

Anche in questo caso proporremo loro un semplice esempio: vogliamo calcolare l’addizione

 

 

Cerchiamo nella prima colonna il 3 e nella prima riga il 5. Troviamo l’incrocio come in figura e leggiamo il numero che troviamo nella casella: esso sarà la nostra somma.

 

 

Tabella dell’addizione.

 

 

Evitiamo di eccedere nell’utilizzo della tabella dell’addizione: si corre il rischio che i bambini vi si abituino, senza sviluppare le abilità necessarie per il calcolo mentale.

 

Addizione con la linea dei numeri

 

Didatticamente parlando, l’addizione con la linea dei numeri è una tecnica che non deve essere assolutamente omessa. Per prima cosa disegniamo la linea dei numeri (che abbiamo introdotto per la prima volta nella guida su maggiore, minore e uguale) e riportiamo i numeri da zero a nove.

 

Vediamo il procedimento con un esempio. Vogliamo calcolare la somma tra 3 e 4:

 

 

Partiamo dal primo numero e segniamo tanti archetti in avanti quante sono le unità del secondo: segneremo 4 archetti (se non volete utilizzare la parola archetto, potrete parlare di salti). Il numero raggiunto dall’ultimo archetto sarà la somma che intendevamo calcolare: 7.

 

La linea dei numeri favorisce l’apprendimento della definizione di addizione: fare quattro salti in avanti è come fare un unico salto ampio quattro unità.

 

 

Addizione con la linea dei numeri.

 

Numeri ordinali

I numeri ordinali (primo, secondo, terzo, …) corrispondono ai numeri cardinali, con la differenza che gli ordinali hanno lo scopo di esprimere un ordinamento o una posizione tra oggetti, mentre i cardinali esprimono una quantità di oggetti. Di conseguenza i numeri ordinali e quelli cardinali si scrivono e si leggono in modi diversi.

I numeri hanno numerosi compiti nella vita di tutti i giorni: essi servono per contare gli oggetti e, ad esempio, servono a misurare delle grandezze come l’età delle persone, il loro peso o la loro altezza. In questa guida parleremo dei numeri ordinali, e soprattutto vedremo come spiegare ai bambini un ulteriore, importantissimo utilizzo dei numeri nella vita di tutti i giorni.

Cosa sono i numeri ordinali

 

I bambini conoscono e utilizzano già i numeri ordinali e, sebbene non ne abbiano piena consapevolezza, si esprimono già con frasi del tipo:

– “Sono arrivato primo alla gara di corsa”

– “Giulio vive al secondo piano del palazzo”

– “Alla terza ora c’è l’insegnante di Matematica”

Le parole primo, secondo e terzo sono tre esempi di numeri ordinali, e dalle precedenti frasi è già chiaro qual sia il loro scopo.

Un numero ordinale è un numero che serve ad ordinare o posizionare gli elementi di un insieme. I numeri ordinali si usano quindi per indicare quale posto un elemento occupa nell’insieme.

I numeri ordinali sono utili, ad esempio, per:

– indicare l’ordine di arrivo dei ciclisti in una gara: “Gianluca ha tagliato il traguardo per primo, Miriam per terza“.

– specificare la posizione di una persona che si trova in una fila: “Marco è il terzo della fila partendo dalla fine”.

Come si scrivono i numeri ordinali

 

In prima elementare, il compito dei bambini consiste nell’imparare a memoria i primi dieci numeri ordinali, come si leggono e come si scrivono. Possiamo fornir loro la seguente tabella.

 

 

NUMERI ORDINALI	IN LETTERE
1°	Primo
2°	Secondo
3°	Terzo
4°	Quarto
5°	Quinto
6°	Sesto
7°	Settimo
8°	Ottavo
9°	Nono
10°	Decimo

 

 

Nella prima colonna della tabella sono stati riportati i numeri ordinali in cifre. Facciamo in modo che i bambini osservino che, per esprimere un numero ordinale in cifre, è necessario scrivere il corrispondente numero cardinale con un piccolo cerchio, posto leggermente in alto alla destra del numero stesso.

 

Dobbiamo insegnare ai bambini inoltre che i numeri ordinali possiedono lo stesso genere e lo stesso numero del sostantivo a cui si riferiscono.

 

Esempi sui numeri ordinali

 

– “Paolo è il primo della classe, merita un premio”

 

Qui primo si riferisce a Paolo, nome proprio maschile.

 

– “Giulia è la seconda di tre sorelle”

 

In questo caso seconda si riferisce a Giulia, nome proprio femminile.

 

– “Maria e Francesco sono i secondi classificati nella gara di ginnastica”

 

Il termine secondi concorda con genere e numero di Maria e Francesco.

 

– “Giulia e Maria sono arrivate per prime al cinema”

 

Giulia e Maria sono due nomi propri femminili e il termine prime concorda con il loro numero e genere.

 

Quanto visto negli esempi si giustifica, dal punto di vista grammaticale, per il fatto che i numeri ordinali sono aggettivi o pronomi numerali, argomenti che però esulano da quelli previsti in questa guida.

 

Numeri ordinali oltre il decimo

 

Man mano che gli alunni impareranno i numeri più grandi, nelle classi successive, sarà necessario riprendere l’argomento, soprattutto per insegnare loro come si leggono e come si scrivono i numeri ordinali più grandi. Fortunatamente esiste una semplicissima regola.

 

Per scrivere un numero ordinale maggiore del decimo, è sufficiente scrivere il numero, eliminare l’ultima vocale e aggiungere la desinenza –esimo.

 

Alcuni esempi sui numeri:

 

– 11° si legge undicesimo;

 

– 12° si scrive dodicesimo;

 

– 13° si scrive tredicesimo;

 

e così via.

 

Ci sono però delle eccezioni e si verificano quando i numeri hanno per cifra delle unità 3 oppure 6. In entrambi i casi, i numeri non perdono l’ultima lettera.

 

– 23° si scrive ventitreesimo;

 

– 26° si scrive ventiseiesimo;

 

– 33° si scrive trentatreesimo;

 

– 36° si scrive trentaseiesimo.

 

Numeri ordinali come numeri romani

 

A titolo di completezza, oltre alla notazione numero-cerchietto, esiste un ulteriore modo per indicare i numeri ordinali, che consiste nell’uso dei numeri romani (il link rimanda all’omonima lezione per studenti delle scuole medie).

 

 

NUMERI ORDINALI IN LETTERE	NUMERI ORDINALI IN CIFRE	NUMERI ROMANI
Primo	1°	I
Secondo	2°	II
Terzo	3°	III
Quarto	4°	IV
Quinto	5°	V
Sesto	6°	VI
Settimo	7°	VII
Ottavo	8°	VIII
Nono	9°	IX
Decimo	10°	X

 

Addizione come operazione

L’addizione è un’operazione matematica che a due numeri, detti addendi, associa un terzo numero detto somma. L’operazione di addizione è definita in modo che il numero di unità che costituiscono la somma si ottenga aggiungendo le unità del primo addendo alle unità del secondo addendo.

 

Dopo che i bambini avranno preso confidenza con i numeri da 0 a 9, e dopo che avranno compreso il significato logico dell’addizione e delle tecniche di base per l’addizione, è necessario iniziare a parlare di addizione come operazione. Comincia il lungo e difficile percorso di formalizzazione e di insegnamento dei concetti matematici. Ebbene sì, dobbiamo partire sin da subito e al contempo evitare di forzare troppo la mano.

 

Definizione di addizione come operazione

 

La prima cosa da fare consisterà nello spiegare ai bambini la definizione di addizione: l’addizione è una operazione matematica che a due numeri, che chiameremo addendi, associa un altro numero che chiameremo somma.

 

Un esempio:

Esempio di addizione come operazione: addendi e somma.

in cui leggeremo

3 più 4 uguale a 7

 

Proseguiamo con la definizione. Com’è definita l’associazione tra gli addendi e la somma? La somma si ottiene contando in avanti, a partire dal primo addendo, tante volte quante sono le unità del secondo addendo. Al posto di somma possiamo utilizzare anche il termine totale.

 

Sarà nostro compito far sì che i bambini interiorizzino la definizione di addizione con l’aiuto di diversi esempi, e in particolare i nomi dei vari termini dell’addizione. A quel punto potremo proseguire e occuparci de…

 

Lo zero nell’addizione

 

Dopo alcuni esempi preliminari faremo bene a trattare l’unico caso particolare nell’addizione tra due numeri, quello in cui tra i due addendi compare almeno uno zero. Dovremo far capire ai bambini che il numero zero ha un ruolo tutto speciale nell’addizione.

 

Vale la seguente regola: se a un numero aggiungiamo zero, otteniamo il numero stesso.

 

Ad esempio

 

0+5=5

 

4+0=4

 

0+0=0

 

Proprio per questo motivo diremo che lo zero è l’elemento neutro dell’addizione. Per aiutare i bambini a comprendere meglio il precedente concetto possiamo utilizzare l’interpretazione logica dell’addizione, magari facendo qualche disegno e ricordando sempre che lo zero conta come nessuna quantità.

 

L’albero dell’addizione

 

Superata l’annosa questione dello zero introdurremo l’albero dell’addizione, che serve a sottolineare il significato di addizione come operazione matematica.

Albero dell’addizione.

 

L’albero dell’addizione si costruisce nel modo seguente:

 

– si parte da due quadrati, nei quali inseriremo gli addendi.

 

– Più in basso si traccia un cerchio piccolo, in cui riporteremo il simbolo dell’addizione: il +.

 

– Disegneremo infine un ultimo quadratino, in cui riporteremo la somma.

 

– Per concludere collegheremo i vari elementi come in figura.

 

Lo sappiamo bene: molti bambini faranno i capricci nell’abituarsi ai calcoli con l’albero dell’addizione. Com’è facilmente intuibile, alla lunga può essere faticoso fare un disegno per ogni addizione, ma è utile per diversi motivi. I bambini comprenderanno il significato di addizione come operazione, in più impareranno a gestire meglio gli spazi sul quaderno (aspetto da non trascurare soprattutto all’inizio, quando la scrittura nei quadrati risulta particolarmente difficile).

 

Addizioni in colonna

 

Pian piano abbandoneremo l’albero dell’addizione e introdurremo la tecnica per calcolare le addizioni in colonna. Si tratta di un metodo famosissimo (chi non lo ricorda?) e delicato: avremo modo di tornare su questo argomento in una guida dedicata, per ora concentriamoci sull’incolonnamento.

 

Partiamo dal presupposto che, per un adulto, è del tutto naturale scrivere le operazioni in colonna, mentre per un bambino non lo è affatto. Di contro in molti hanno qualche problemino con l’incolonnamento, dunque cerchiamo di essere pazienti.

 

Per spiegare ai bambini come incolonnare gli addendi per l’addizione, cominceremo come al solito con un semplice esempio. Scriveremo il primo addendo in alto e ad esso affiancheremo il simbolo dell’addizione; sotto al primo addendo scriveremo il secondo, a cui affiancheremo il simbolo di uguaglianza. Infine disegneremo una linea, sotto la quale dovremo riportare la somma o il totale.

 

Esempio di addizione in colonna.

Come anticipato poco sopra, ritorneremo sulle addizioni in colonna in una delle guide successive. L’importante è preparare i bambini con la tecnica di incolonnamento, preludio essenziale per imparare ad addizionare due numeri qualsiasi in colonna.

Adesso un piccolo schema riassuntivo:

Metodi elementari per il calcolo delle addizioni.

 

 

Nell’ordine: addizione in riga, addizione in colonna, e il significato logico dell’addizione. Da notare che la definizione di addizione come operazione fornisce un’interpretazione squisitamente matematica (e simbolica) del significato logico dell’addizione.